Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1(a∈R)．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a≤

1

2

時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=2處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問(wèn)題解決．
（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)來(lái)討論函數(shù)的單調(diào)性即可，具體的步驟是：（1）確定 f（x）的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=lnx+x+

2

x

-1，x∈（0，+∞），
所以f′（x）=

1

x

+1-

2

x2

，因此，f′（2）=1，
即曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線斜率為1，
又f（2）=ln2+2，y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為y-（ln2+2）=x-2，
所以曲線，即x-y+ln2=0；
（Ⅱ）因?yàn)?span id="d5r7vjv" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">f(x)=lnx-ax+

1-a

x

-1，
所以f′(x)=

1

x

-a+

a-1

x2

=-

ax2-x+1-a

x2

，x∈（0，+∞），
令g（x）=ax²-x+1-a，x∈（0，+∞），
（1）當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=-x+1，x∈（0，+∞），
所以，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞0，
此時(shí)f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，由g（x）=0，
即ax²-x+1-a=0，解得x₁=1，x₂=

1

a

-1．
①當(dāng)a=

1

2

時(shí)，x₁=x₂，g（x）≥0恒成立，
此時(shí)f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
②當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，
x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞0，此時(shí)f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
x∈（1，

1

a

-1）時(shí)，g（x）＜0，此時(shí)f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
x∈（

1

a

-1，+∞）時(shí)，g（x）＞0，此時(shí)f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
③當(dāng)a＜0時(shí)，由于

1

a

-1＜0，
x∈（0，1）時(shí)，g（x）＞0，此時(shí)f′（x）＜0函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
x∈（1，+∞）時(shí)，g（x）＜0此時(shí)函數(shù)f′（x）＞0函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．
綜上所述：
當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
函數(shù)f（x）在（1，

1

a

-1）上單調(diào)遞增；
函數(shù)f（x）在（

1

a

-1，+∞）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價(jià)變換思想．