Question

已知c＞0且c≠1，設(shè)p：指數(shù)函數(shù)y=（2c-1）^x在R上為減函數(shù)，q：不等式x+（x-2c）²＞1的解集為R．若p∧q為假，p∨q為真，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：分別求出當(dāng)p，q為真命題時(shí)的c的取值范圍，然后由題意可得p和q有且只有一個(gè)正確，然后分兩類(lèi)由交集的運(yùn)算可得答案．

解答：解：當(dāng)p正確時(shí)，
∵函數(shù)y=（2c-1）^x在R上為減函數(shù)，∴0＜2c-1＜1
∴當(dāng)p為正確時(shí)，

1

2

＜c＜1；
當(dāng)q正確時(shí)，
∵不等式x+（x-2c）²＞1的解集為R，
∴當(dāng)x∈R時(shí)，x²-（4c-1）x+（4c²-1）＞0恒成立．
∴△=（4c-1）²-4•（4c²-1）＜0，∴-8c+5＜0
∴當(dāng)q為正確時(shí)，c＞

5

8

．
由題設(shè)，p和q有且只有一個(gè)正確，則
（1）p正確q不正確，∴

1 2 ＜c＜1 0＜c≤ 5 8

∴

1

2

＜c≤

5

8

（2）q正確p不正確∴

0＜c≤ 1 2   ，  c＞1 c＞ 5 8

∴c＞1
∴綜上所述，c的取值范圍是（

1

2

，

5

8

]∪（1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題為變量取值范圍的求解，涉及函數(shù)的單調(diào)性和一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題．