Question

已知正三角形OAB的三個頂點(diǎn)都在拋物線y²＝2x上，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)圓C是OAB的內(nèi)接圓(點(diǎn)C為圓心)

(Ⅰ)求圓C的方程；

(Ⅱ)設(shè)圓M的方程為(x－4－7cosθ)²＋(y－7cosθ)²＝1，過圓M上任意一點(diǎn)P分別作圓C的兩條切線PE，PF，切點(diǎn)為E，F(xiàn)，求的最大值和最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解法一：設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，由題設(shè)知 　　． 　　解得 　　． 　　所以A(6，)，B(6，－)或A(6，－)，B(6，)． 　　設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(r，0)，則．因此圓C的方程為(x－4)2＋y2＝16． 　　解法二：設(shè)A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由題設(shè)知 　　． 　　又因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.1010pic.com/pic7/pages/60A2/0649/0020/cad4686650aef7be7c8f871d401d5843/C/Image74.gif" width=128 height=28>，可得，即 　　(x1－x2)(x1＋x2＋2)＝0． 　　由x1＞0，x2＞0，可知x1＝x2，故A、B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，所以圓心C在x軸上． 　　設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(r，0)，則A點(diǎn)坐標(biāo)為，于是有，解得r＝4，所以圓C的方程為 　　(x－4)2＋y2＝16．……4分 　　(Ⅱ)解：設(shè)∠ECF＝2α，則 　　．……8分 　　在Rt△PCE中，．由圓的幾何性質(zhì)得 　　|PC|≤|MC|＋1＝7＋1＝8，|PC|≥|MC|－1＝7－1＝6．……10分 　　所以，由此可得 　　． 　　故的最大值為－，最小值為－8．……14分