Question

9．已知函數(shù)y=2a^x-1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，若該定點(diǎn)在一次函數(shù)y=mx+n的圖象上，其中m，n＞0，則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值為2．

Answer 1

分析 函數(shù)y=2a^x-1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（1，2），該定點(diǎn)在一次函數(shù)y=mx+n的圖象上，可得2=m+n．再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：函數(shù)y=2a^x-1（a＞0，且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（1，2），
該定點(diǎn)在一次函數(shù)y=mx+n的圖象上，∴2=m+n．
其中m，n＞0，則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=$\frac{1}{2}（m+n）$$（\frac{1}{m}+\frac{1}{n}）$=$\frac{1}{2}（2+\frac{m}{n}+\frac{n}{m}）$$≥\frac{1}{2}（2+2\sqrt{\frac{m}{n}×\frac{n}{m}}）$=2，
當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)取等號(hào)．
則$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$的最小值為2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．