已知橢圓C：(a＞b＞0)的左右焦點分別是F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，直線l：x＝my＋c與橢圓C交于兩點M，N且當m＝－時，M是橢圓C的上頂點，且△MF1F2的周長為6．

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓C的左頂點為A，直線AM，AN與直線：x＝4分別相交于點P，Q，問當m變化時，以線段PQ為直徑的圓被x軸截得的弦長是否為定值？若是，求出這個定值，若不是，說明理由．

答案：
解析：

　　解：(1)當時，直線的傾斜角為，所以：　3分

　　解得：，　5分

　　所以橢圓方程是：；　6分

　　(1)當時，直線的方程為：，此時，點的坐標分別是，

　　又點坐標是，由圖可以得到兩點坐標分別是，以為直徑的圓過右焦點，被軸截得的弦長為6，猜測當變化時，以為直徑的圓恒過焦點，被軸截得的弦長為定值6，　8分

　　證明如下：設(shè)點點的坐標分別是，則直線的方程是：，

　　所以點的坐標是，同理，點的坐標是，　9分

　　由方程組得到：，

　　所以：，　11分

　　從而：

　　＝0，

　　所以：以為直徑的圓一定過右焦點，被軸截得的弦長為定值6．　13分


練習冊系列答案
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已知橢圓C:=1(a＞b＞0),直線l1:=1被橢圓C截得的弦長為2，過橢圓C的右焦點且斜率為3的直線l2被橢圓C截得的弦長是橢圓長軸長的，求橢圓C的方程.

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已知橢圓C:+=1(a>b>0)的一個頂點為A(2,0),離心率為.直線y=k(x-1)與橢圓C交于不同的兩點M,N.

(1)求橢圓C的方程;

(2)當△AMN的面積為時,求k的值.

 

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已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左焦點為F,C與過原點的直線相交于A,B兩點,連接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=,則C的離心率為(　　)

(A) (B) (C) (D)

 

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（本題滿分14分）

已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為3.

(1)求橢圓C的方程;

(2)過橢圓C上的動點P引圓O：x2+y2=b2的兩條切線PA、PB，A、B分別為切點，試探究橢圓C上是否存在點P，由點P向圓O所引的兩條切線互相垂直？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011年遼寧省高二上學期期末考試數(shù)學文卷 題型：解答題

(本小題滿分12分)

已知橢圓C:（a＞b＞0）的離心率為短軸一個端點到右焦點的

距離為.

(Ⅰ)求橢圓C的方程;    

(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，求△AOB面積的

最大值.

 

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