【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）若滿足，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅲ）若（）是的一個(gè)極值點(diǎn)，且，證明：.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有個(gè)極值點(diǎn)；（Ⅲ）見(jiàn)解析

【解析】

（Ⅰ）對(duì)求導(dǎo)，由構(gòu)建方程，求得的值；

（Ⅱ）對(duì)求導(dǎo)，利用分類討論思想討論在當(dāng)，，時(shí)的單調(diào)性，進(jìn)而分析極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（Ⅲ）由，可得，此時(shí)由（Ⅱ）可知其兩個(gè)極值為-2和時(shí)，又（）是的一個(gè)極值點(diǎn)，則，即可表示，進(jìn)而由換元法令，構(gòu)造新的函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明此時(shí)的不等式即可.

（Ⅰ）.

，所以.

（Ⅱ）

當(dāng)時(shí)，令，解得，.

①當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)變化時(shí)，，的變化如下表

↗

極大值點(diǎn)

↘

極小值點(diǎn)

↗

所以有2個(gè)極值點(diǎn).

②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)恒成立且不恒為

在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn).

③當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)變化時(shí)，，的變化如下表

↗

極大值點(diǎn)

↘

極小值點(diǎn)

↗

所以有2個(gè)極值點(diǎn).

綜上所述：當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有個(gè)極值點(diǎn)

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若是的一個(gè)極值點(diǎn)，則.

又，即.

.

.

令，則，.

則，令，解得或.

當(dāng)在區(qū)間上變化時(shí)，，的變化如下表

↗

極大值點(diǎn)

↘

在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減

，即

.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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