Question

如圖：五面體A-BCC₁B₁中，AB₁=4，△ABC 是正三角形，AB=2，四邊形  BCC₁B₁是矩形，二面角A-BC-C₁為直二面角，D為AC的中點．
（1）求證：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求二面角C-BC₁-D的大小；
（3）若A、B、C、C₁為某一個球面上的四點，求該球的半徑r．

Answer 1

分析：（1）連接B₁C交BC₁于O，連接DO，由三角形的中位線性質(zhì)可得  DO∥AB₁，從而證明AB₁∥平面BDC₁．
（2）過點D作DN⊥BC于點N，過點N作HH⊥BC₁，連接DH，則易知∠DHN為二面角C-BC₁-D的平面角，分別求出DN，NH的長，即可得二面角C-BC₁-D的大�。�
（3）取AC₁的中點M，連接DM，則DM∥CC₁．以DA、DB、DM所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz，則可求球的半徑．

解答：（1）證明：連接B₁C交BC₁于點O，則O為B₁C中點，連接OD，
則在△B₁AC中，AB₁∥OD．
∵OD?平面BDC₁，AB₁?平面BDC₁．
∴AB₁∥平面BDC₁．…（3分）
（2）過點D作DN⊥BC于點N，則
∵二面角A-BC-C₁為直二面角
∴DN⊥平面CBC₁．
過點N作HH⊥BC₁，連接DH，則由三垂線定理知DH⊥BC₁．
∴∠DHN為二面角C-BC₁-D的平面角．…（4分）
∵DN=DC•sin60°=

3

2

，
∴CN=

1

2

，BN=

3

2

．…（5分）
∵△ABB₁為直角三角形，
∴CC1=BB1=2

3

，
∴BC₁=4．…（6分）
∵Rt△BNH～Rt△BC₁C
∴

BN

BC1

=

NH

CC1

，
∴HN=

3 3

4

．…（7分）
∴tan∠DHN=

DN

NH

=

3 2

3 3 4

=

2

3

，
∴二面角C-BC₁-D的大小為arctan

2

3

．…（8分）
（3）取AC₁的中點M，連接DM，則DM∥CC₁．
以DA、DB、DM所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系D-xyz（如圖所示）．…（9分）   
則A（1，0，0），C₁（-1，0，2

3

），
設球心為點O，O到平面ABC的距離為h，則O（0，

3

3

，h）．…（10分）
∵OC₁=OA=r，
∴

1+ 1 3 +(2 3-h )2

=

1+ 1 3 +h2

，
∴h=

3

，
∴r=

1+ 1 3 +h2

=

39

3

．…（12分）

點評：本題以多面體為載體，考查線面平行，考查面面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，解題的關(guān)鍵是利用線線平行證明線面平行，正確作出二面角的平面角．