如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀．

(Ⅰ)若最大拱高h為6米，則隧道設計的拱寬l是多少？

(Ⅱ)若最大拱高h不小于6米，則應如何設計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧道的土方工程量最�。�

(半個橢圓的面積公式為S＝lh，柱體體積為：底面積乘以高．本題結果均精確到0.1米)

答案：
解析：

　　[解]　　(Ⅰ)如圖建立直角坐標系，則點P(11，4.5)，橢圓方程為＋＝1．

　　將b＝h＝6與點P坐標代入圓方程，得a＝，此時l＝2a＝≈33.3．　　因此隧道的拱寬約為33.3米．

　　(Ⅱ)[解一]由橢圓方程＋＝1，得＋＝1．

　　因為＋≥，即ab≥99，且l＝2a，h＝b，所以S＝lh＝≥．　　當S取最小值時，有＋＝，得a＝11，b＝

　　此時l＝2a＝22≈31.1，h＝b≈6.4．

　　故當拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時，土方工程量最�。�

　　[解二]　　由橢圓方程＋＝1，得＋＝1．于是b2＝·，

　　a2b2＝(a2－121＋＋242)≥(＋242)＝81×121，

　　即ab≥99，當S取最小值時，有a2－121＝，

　　得a＝11，b＝．以下同解一．


練習冊系列答案
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(1)

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(2)

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元)．

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