Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊，兩個(gè)銳角,的終邊分別與單位圓相交于A,B 兩點(diǎn)．

（Ⅰ）若，，求的值；
（Ⅱ）若角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，設(shè)角的正弦線分別為
，試問：以作為三邊的長能否構(gòu)成一個(gè)三角形？若能，請加以證明；若不能，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）以作為三邊的長能構(gòu)成一個(gè)三角形.

試題分析：（Ⅰ）∵0<α<，  tanα＝，∴cosα＝，sinα＝.
又∵0<β<，sinβ＝，∴0<2β<π，cos2β＝1－2sin²β＝，sin2β＝＝.
于是cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×－×＝.
由已知條件知0<α＋2β<π，∴α＋2β＝.  6分
（Ⅱ）解：以作為三邊的長能構(gòu)成一個(gè)三角形，證明如下：
∵，∴ 
∴，，
∵，所以，，于是有：
①   8分
又∵，∴，于是有：
②
同理：③
由①②③可知，以作為三邊的長能構(gòu)成一個(gè)三角形. 12分
點(diǎn)評：第一問涉及到基本公式有
，求角的大小常首先求角的某一三角函數(shù)值，結(jié)合角的范圍即可求出；第二問判定能否構(gòu)成三角形即判定三邊長是否有任意兩邊之和大于第三邊，確定不等式關(guān)系主要借助于正余弦函數(shù)的有解性