Question

四面體ABCD中，E、G分別為BC、AB的中點，F(xiàn)在CD上，H在AD上，且有DF：FC=2：3．DH：HA=2：3．
（1）證明：點G、E、F、H四點共面；
（2）證明：EF、GH、BD交于一點．

Answer 1

【答案】分析：（1）由E、G分別為BC、AB的中點，根據(jù)中位線定理，我們可得，EG∥AC，又由F、G分別是BC、CD上的點，且DF：FC=2：3．DH：HA=2：3，根據(jù)平行線分線段成比例定理的引理，我們可得FH∥AC，則由平行公理我們可得EG∥FH，易得E、F、G、H四點共面；
（2）由（1）的結(jié)論，EF，GH是梯形的兩腰，所以它們的延長線必相交于一點P，而由于BD是EF和GH分別所在平面BCD和平面ABD的交線，而點P是上述兩平面的公共點，由公理3知P∈BD，故三線共點．
解答：證明：（1）∵E、G分別為BC、AB的中點，∴EG∥AC
又∵DF：FC=2：3．DH：HA=2：3，∴FH∥AC．
∴EG∥FH
所以，E、F、G、H四點共面．
（2）由（1）可知，EG∥FH，且EG≠FH，即EF，GH是梯形的兩腰，
所以它們的延長線必相交于一點P
∵BD是EF和GH分別所在平面BCD和平面ABD的交線，而點P是上述兩平面的公共點，
∴由公理3知P∈BD．
所以，三條直線EF、GH、BD交于一點．
點評：所謂線共點問題就是證明三條或三條以上的直線交于一點．（1）證明三線共點的依據(jù)是公理3．（2）證明三線共點的思路是：先證兩條直線交于一點，再證明第三條直線經(jīng)過該點，把問題轉(zhuǎn)化為證明點在直線上的問題．實際上，點共線、線共點的問題都可以轉(zhuǎn)化為點在直線上的問題來處理．