Question

【題目】如圖，已知四棱錐，底面為菱形， 平面，，E，F分別是，的中點(diǎn).

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的余弦值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析 (2)

【解析】

（1）在底面菱形中可得，.由平面，得.從而有線面垂直，因此線線垂直；

（2）由于圖中有，，兩兩垂直，因此以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的法向量，用空間向量法表示線面角求出a，再求解二面角．

（1）證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形.

因?yàn)?/span>E為的中點(diǎn)，所以.又，因此.

因?yàn)?/span>平面，平面，所以.

而平面，平面，且，

所以平面，又平面.所以.

（2）由（1）知，，兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)，，則，，

所以，且為平面的法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，由，則有

解得

所以，

設(shè)平面的一法向量為，則，

因此取，

則

因?yàn)?/span>，所以平面，故為平面的一法向量

又

所以.

因?yàn)槎�面�?/span>為銳角，所以所求二面角的余弦值為