Question

求證：正△ABC外接圓上的任意一點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離的平方和為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：以正三角形的中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系，設(shè)外接圓的半徑為R，可得點(diǎn)的坐標(biāo)和圓的方程，由兩點(diǎn)間的距離可得三個(gè)距離的平方，相加可得結(jié)論．

解答： 證明：以正三角形的中心（外接圓的圓心）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系，
設(shè)外接圓的半徑為R，可得A（0，R），B（-

3 R

2

，-

R

2

），C（

3 R

2

，-

R

2

），
則外接圓的方程為x²+y²=R²，故可設(shè)圓上的動(dòng)點(diǎn)M（Rcosθ，Rsinθ），
由兩點(diǎn)間的距離公式可得|MA|²=（Rcosθ）²+（Rsinθ-R）²=2R²（1-sinθ），
|MB|²=（Rcosθ+

3 R

2

）²+（Rsinθ+

R

2

）²=R²（2+

3

cosθ+sinθ），
|MC|²=（Rcosθ-

3 R

2

）²+（Rsinθ+

R

2

）²=R²（2-

3

cosθ+sinθ），
以上3式相加可得|MA|²+|MB|²+|MC|²=R²（2-2sinθ+2+

3

cosθ+sinθ+2-

3

cosθ+sinθ）=6R²，為定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩點(diǎn)間的距離公式，建系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．