已知函數(shù)f(x)=
-x3+x2+bx+c(x<1)
alnx(x≥1)
,的圖象過點(diǎn)(-1,2),且在點(diǎn)(-1,f(-1))處的切線與直線x-5y+1=0垂直.
(1)求實(shí)數(shù)b,c的值;
(2)若P,Q是曲線y=f(x)上的兩點(diǎn),且△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,此三角形斜邊的中點(diǎn)在y軸上,則對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)a,滿足上述要求的三角形有幾個(gè)?
分析:(1)求出x<1時(shí)的導(dǎo)函數(shù),令f(-1)=2,f′(x)=-5,解方程組,求出b,c的值.
(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(不妨設(shè)m>0),則由題意可得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為-m,且-m<0.由題意可得OP⊥OQ,即K0P•KOQ=-1.分0<m<1和m≥1兩種情況,分別檢驗(yàn),從而得出結(jié)論.
解答:解:(1)由題意可得,當(dāng)x<1時(shí),f′(x)=-3x2+2x+b,f′(-1)=-3-2+b=b-5.
由( b-5 )(
1
5
)=-1,可得b=0,故 f(x)=-x3+x2+c.
把點(diǎn)(-1,2)代入求得 c=0.
綜上可得b=0,c=0.
(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m(不妨設(shè)m>0),則由題意可得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為-m,且-m<0.
當(dāng)0<m<1時(shí),點(diǎn)P(m,-m3+m2),點(diǎn) Q(-m,m3+m2),
由K0P•KOQ=-1,可得(-m2+m)(-m2-m)=-1,m無解.
當(dāng)m≥1時(shí),點(diǎn)P(m,alnm),點(diǎn) Q(-m,m3+m2),
由K0P•KOQ=-1,可得
alnm
m
•(-m2-m)=-1,即alnm=
1
m+1

由于a為正實(shí)數(shù),故存在大于1的實(shí)數(shù)m,滿足方程alnm=
1
m+1

故曲線y=f(x)上存在兩點(diǎn)P,Q,使得△POQ是以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形,且此三角形斜邊中點(diǎn)在y軸上.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率;求分段函數(shù)的性質(zhì)時(shí)應(yīng)該分段去求體現(xiàn)了分類討論和等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對(duì)稱,求φ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時(shí)f(x)的表達(dá)式;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=o有解,求實(shí)數(shù)a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實(shí)數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項(xiàng)和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對(duì)于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 

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