在數(shù)列{an}中,a1=2,a2=4,且當n≥2時,a,n∈N*
(I)求數(shù)列{an}的通項公式an
(II)若bn=(2n-1)an,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn
(III)是否存在正整數(shù)對(m,n),使等式成立?若存在,求出所有符合條件的(m,n);若不存在,請說明理由.
【答案】分析:(I)由已知可得,數(shù)列{an}是等比數(shù)列,結(jié)合已知及等比數(shù)列的通項公式可求
(II)由bn=(2n-1)an=(2n-1)•2n,結(jié)合通項的特點考慮利用錯位相減求和
(III)假設存在正整數(shù)對(m,n),使得等式,把已知an的通項代入可整理出m與n的關系式,結(jié)合基本不等式可求m的最小值,進而可求
解答:解:(I)由已知可得,數(shù)列{an}是等比數(shù)列
∵a1=2,a2=4
=2
=2n
(II)∵bn=(2n-1)an=(2n-1)•2n

 2Sn=1•22+3•23+…+(2n-3)•2n+(2n-1)•2n+1
兩式相減可得,
=2
=-6+2n-2-n•2n+2+2n+1

(III)假設存在正整數(shù)對(m,n),使得等式

∴22n=m(2n-4)成立
∵m∈N*∴2n>4
==
當且僅當2n-4=4即n=3時取等號
∵2n>4

∴2n-4=1或2或8或16,此時均無解
故符合題意的正整數(shù)對只有(16,3)
點評:本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及通項公式的應用,數(shù)列的遞推公式的應用,錯位相減求和方法的應用及一定的邏輯推理與運算的能力
練習冊系列答案
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在數(shù)列{an}中,
a
 
1
=1
,an=
1
2
an-1+1
(n≥2),則數(shù)列{an}的通項公式為an=
2-21-n
2-21-n

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在數(shù)列{an}中,a 1=
1
3
,并且對任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=
1
an
(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)設數(shù)列{
an
n
}的前n項和為Tn,證明:
1
3
Tn
3
4

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12
,前n項和Sn=n2an,求an+1

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在數(shù)列{an}中,a,并且對任意n∈N*,n≥2都有an•an-1=an-1-an成立,令bn=(n∈N*).
(Ⅰ)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(Ⅱ)設數(shù)列{}的前n項和為Tn,證明:

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