Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，且當n≥2時，a，n∈N^*．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n
（II）若b_n=（2n-1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和Sn
（III）是否存在正整數(shù)對（m，n），使等式成立？若存在，求出所有符合條件的（m，n）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知可得，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，結(jié)合已知及等比數(shù)列的通項公式可求
（II）由b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•2ⁿ，結(jié)合通項的特點考慮利用錯位相減求和
（III）假設存在正整數(shù)對（m，n），使得等式，把已知a_n的通項代入可整理出m與n的關系式，結(jié)合基本不等式可求m的最小值，進而可求
解答：解：（I）由已知可得，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列
∵a₁=2，a₂=4
∴=2
∴=2ⁿ
（II）∵b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•2ⁿ
∴
 2S_n=1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得，
=2
=-6+2^n-2-n•2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹
∴
（III）假設存在正整數(shù)對（m，n），使得等式
∵
∴2²ⁿ=m（2ⁿ-4）成立
∵m∈N^*∴2ⁿ＞4
∴==
當且僅當2ⁿ-4=4即n=3時取等號
∵2ⁿ＞4
∴
∴2ⁿ-4=1或2或8或16，此時均無解
故符合題意的正整數(shù)對只有（16，3）
點評：本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)及通項公式的應用，數(shù)列的遞推公式的應用，錯位相減求和方法的應用及一定的邏輯推理與運算的能力