Question

若A，B均在拋物線y²=-8x上，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA⊥OB，則直線AB一定會(huì)經(jīng)過點(diǎn)________．

Answer 1

（-8，0）
分析：設(shè)出AB的方程，A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而把直線與拋物線方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表達(dá)式，進(jìn)而利用拋物線方程求得y₁y₂=的表達(dá)式，進(jìn)而根據(jù)AO⊥BO推斷出x₁x₂+y₁y₂=0，求得b與k的關(guān)系，即可求出結(jié)果．
解答：顯然直線AB的斜率存在，記為k，AB的方程記為：y=kx+b，（b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線方程代入y²=-8x得：k²x²+（2kb+8）x+b²=0，則有：
x₁+x₂=-，x₁x₂=，又y₁²=-8x₁，y₂²=-8x₂
∴y₁y₂=；
∵AO⊥BO，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
得：b=8k
∴直線AB的方程為y=kx+8k，
∴直線AB過定點(diǎn)（-8，0）
故答案為：（-8，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及到直線與圓錐線的問題一般是聯(lián)立方程，設(shè)而不求，屬于中檔題．