Question

已知函數f（x）=，g（x）和f（x）的圖象關于原點對稱．
（I）求函數g（x）的解析式；
（II）試判斷g（x）在（-1，0）上的單調性，并給予證明；
（III）將函數g（x）的圖象向右平移a（a＞0）個單位，再向下平移b（b＞0）個單位，若對于任意的a，平移后gf（x）和f（x）的圖象最多只有一個交點，求b的最小值．

Answer 1

解：（I）由g（x）和f（x）的圖象關于原點對稱，
得到g（x）=-f（-x）=-（）=-x²++4，（x＜0）；（2分）
（II）g（x）在（-1，0）上單調遞減．
證明：任意取x₁，x₂∈（-1，0）且x₁＜x₂，
則＞2，x₁+x₂＞-2，
∵g（x₁）-g（x₂）=（x₂-x₁）（x₁+x₂+）＞0，
所以g（x）在（-1，0）上遞減；（6分）
（III）同理可知g（x）在（-∞，-1）上遞增，且g（x）和f（x）關于原點對稱．
故要使得平移后2個函數的圖象最多只有一個交點，
則只需要將g（x）向下平移2個單位，
因此b的最小值為2．（10分）
分析：（I）因為g（x）和f（x）的圖象關于原點對稱，所以g（x）=-f（-x），把f（x）的解析式代入即可確定出g（x）的解析式；
（II）g（x）在（-1，0）上單調遞減，理由如下：在（-1，0）任取兩個值x₁和x₂，且x₁小于x₂，然后判斷g（x₁）與g（x₂）的差為正數，即可得到g（x）在（-1，0）上單調遞減；
（III）由第二問得到g（x）在（-1，0）上單調遞減，且g（x）與f（x）關于原點對稱，要使得平移后2個函數的圖象最多只有一個交點，只需將g（x）圖象向下平移兩個單位，因此得到b的最小值為2．
點評：此題考查了函數解析式得求解及常用的方法，函數單調性的證明，以及函數的圖象與圖象的變化．函數的單調性就是隨著x的變大，y在變大就是增函數，y變小就是減函數，具有這樣的性質就說函數具有單調性，其證明方法為：在定義域內任取兩個自變量的值，并設出大小關系，代入函數解析式分別表示出相應的函數值，利用作差的方法判斷其函數值的大小，即可得到函數的單調性．