Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AD⊥平面A₁BC，其垂足D落在直線A₁B上．

（1）求證：平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁；

（2）若，AB=BC=2，P為AC中點(diǎn)，求三棱錐的體積。

 

Answer 1

【答案】

(1)利用線線垂直證明線面垂直；(2)

【解析】

試題分析：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A A₁⊥平面ABC，

∴A A₁⊥BC，

∵AD⊥平面A₁BC，

∴AD⊥BC，

∵A A₁，AD為平面ABB₁A₁內(nèi)兩相交直線，

∴BC⊥平面ABB₁A₁，

又∵平面A₁BC，

∴平面A₁BC⊥平面ABB₁A₁                 7分

(2) 由等積變換得，

在直角三角形中，由射影定理()知，

∵，

∴三棱錐的高為                 10分

又∵底面積               12分

∴=             14分

法二：連接，取中點(diǎn)，連接，∵P為AC中點(diǎn)， 

,,　               9分

由（1）AD⊥平面A₁BC，∴⊥平面A₁BC，

∴為三棱錐P- A₁BC的高，                  11分

由（1）BC⊥平面ABB₁A₁　，            12分

，                   14分

考點(diǎn)：本題考查了空間中的線面關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：高考中�？疾榭臻g中平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明以及幾何體體積的計(jì)算，這是高考的重點(diǎn)內(nèi)容.證明的關(guān)鍵是熟練掌握并靈活運(yùn)用相關(guān)的判定定理與性質(zhì)定理