Question

已知數(shù)列a_n（n∈N*）的前n項和為S_n．若S_n滿足（2n-1）S_n+1=（2n+1）S_n+4n²-1，是否存在a₁，使數(shù)列a_n為等差數(shù)列？若存在，求出a₁的值；若不存在，請說明理由；

Answer 1

分析：整理題設(shè)的遞推式得

Sn+1

2n+1

-

Sn

2n-1

=1進而判斷出{

Sn

2n-1

}是以S₁=a₁為首項，1為公比的等差數(shù)列，進而根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得

Sn

2n-1

表達式，進而求得S_n，進而根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求得a_n，進而根據(jù)a₂-a₁=4求得a₁，進而判斷出存在a₁=1，使數(shù)列a_n為等差數(shù)列．

解答：解：∵（2n-1）S_n+1=（2n+1）S_n+4n²-1，
∴

Sn+1

2n+1

-

Sn

2n-1

=1(n∈N*)
∴{

Sn

2n-1

}是以S₁=a₁為首項，1為公比的等差數(shù)列，
∴S_n=（a₁+n-1）（2n-1）=2n²+（2a₁-3）n+（1-a₁），
當n=1時，S₁=a₁，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=4n+2a₁-5，
∵數(shù)列a_n為等差數(shù)列，
∴a₂-a₁=4?a₁+3=4?a₁=1．
∴存在a₁=1，使數(shù)列a_n為等差數(shù)列．．

點評：本題主要考查了等差關(guān)系的確定．解題的關(guān)鍵是利用好題設(shè)中遞推式．