Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}中，a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，且a₁=2，求a₂₀₀₈．

Answer 1

分析 a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，且a₁=2，可得a₂=$\frac{1+2}{1-2}$=-3，a₃=-$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{1}{3}$，a₅=2．…，a_n+4=a_n．即可得出．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，且a₁=2，
∴a₂=$\frac{1+2}{1-2}$=-3，a₃=$\frac{1-3}{1-（-3）}$=-$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{1-\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{3}$，a₅=$\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=2．
…，
∴a_n+4=a_n．
∴a₂₀₀₈=a_502×4=a₄=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．