已知函數(shù)f(x)=(x2-ax)ex(a∈R)
(1)當(dāng)a=2時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)若函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,求a的取值范圍.
(3)函數(shù)f(x)可否為R上的單調(diào)函數(shù),若是,求出a的取值范圍,若不是,請說明理由.
解:(1)當(dāng)a=2時,f(x)=(x
2-2x)e
x,
∴f′(x)=(2x-2)e
x+(x
2-2x)e
x=(x
2-2)e
x,令f′(x)<0即(x
2-2)e
x<0,
∴x
2-2<0,∴-
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,∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13480.png)
).
(2)f′(x)=(2x-a)e
x+(x
2-ax)e
x=[x
2+(2-a)x-a]e
x,
∵f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,∴x∈(-1,1)時,f′(x)≤0恒成立,
即x∈(-1,1)時,x
2+(2-a)x-a≤0恒成立.即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13481.png)
對一切x∈(-1,1)恒成立,令
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13482.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13483.png)
>0,
∴g(x)在(-1,1)上是增函數(shù).∴g(x)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13484.png)
,a
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13485.png)
,
即a的取值范圍是[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13486.png)
).
(3)∵f′(x)=[x
2+(2-a)x-a]e
x,設(shè)t=x
2+(2-a)x-a,
△=(2-a)
2+4a=a
2+4>0,∴x∈R時,t不恒為正值,也不恒為負值.
即f′(x)的值不恒正,也不恒負,故f(x)在R上不可能單調(diào).
分析:(1)當(dāng)a=2時,由f(x)=(x
2-2x)e
x,知f′(x)=(2x-2)e
x+(x
2-2x)e
x=(x
2-2)e
x,令f′(x)<0,能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.
(2)f′(x)=(2x-a)e
x+(x
2-ax)e
x=[x
2+(2-a)x-a]e
x,由f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減,知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13481.png)
對一切x∈(-1,1)恒成立,令
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13482.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/13483.png)
>0,
故g(x)在(-1,1)上是增函數(shù),由此能求出a的取值范圍.
(3)f′(x)=[x
2+(2-a)x-a]e
x,設(shè)t=x
2+(2-a)x-a,由△=(2-a)
2+4a=a
2+4>0,知x∈R時,t不恒為正值,也不恒為負值,故f(x)在R上不可能單調(diào).
點評:本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的合理運用,解題時要認真審題,仔細解答,合理地運用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì).