Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

x²+lnx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求證：在區(qū)間[1，+∞）上，函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=

2

3

x³圖象的下方；
（Ⅲ）求證：[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值點(diǎn)，通過(guò)比較與端點(diǎn)的大小從而確定出最大最小值．
（2）證明函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=

2

3

x³圖象的下方，可采用構(gòu)造輔助函數(shù)的辦法，用兩函數(shù)的差構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)，求導(dǎo)分析輔助函數(shù)的單調(diào)性，得出在給定區(qū)間上函數(shù)值的符號(hào)，繼而證出結(jié)論．
（3）把要證明結(jié)論的左邊代式化簡(jiǎn)，展開(kāi)二項(xiàng)式，重新組合后運(yùn)用不等式性質(zhì)．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=

1

2

x2+lnx f′(x)=x+

1

x

，當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，∴f(x)min=f(1)=

1

2

，f(x)max=f(e)=

1

2

e2+1．
（Ⅱ）設(shè)F(x)=

1

2

x2+lnx-

2

3

x3，則 F′(x)=x+

1

x

-2x2=

(1-x)(1+x+2x2)

x

，
∵x＞1時(shí)F′（x）＜0，∴F（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，又F（1）=-

1

6

＜0，故在[1，+∞）上，
F（x）＜0，即

1

2

x2+lnx＜

2

3

x3，∴函數(shù)f（x）的圖象在函數(shù)g（x）=

2

3

x3的圖象的下方．
（Ⅲ）∵x＞0，∴[f′(x)]n-f′(xn)=(x+

1

x

)n-(xn+

1

xn

)．
當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立，當(dāng)n≥2時(shí)，有[f′(x)]n-f′(xn)=

c

1 n

xn-1

1

x

+

c

2 n

xn-2+…+

c

n-1 n

x

1

xn-1

=

c

1 n

xn-2+

c

2 n

xn-4+…+

c

n-1 n

1

xn-2

=

1

2

[

c

1 n

(xn-2+

1

xn-2

)+

c

2 n

(xn-4+

1

xn-4

)+…+

c

n-1 n

(

1

xn-2

+xn-2)]≥

1

2

(2

c

1 n

+2

c

2 n

+…+2

c

n-1 n

)=2n-2=2ⁿ-2．
∴[f′（x）]ⁿ-f′（xⁿ）≥2ⁿ-2（n∈N^*）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過(guò)比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)比較函數(shù)值與某一極值點(diǎn)的函數(shù)值的大小是證明一區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖象高低的有效方法．