已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，點M（4，1）是橢圓上一定點，直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A、B．
（1）求橢圓方程；
（2）求m的取值范圍；
（3）求△OAB面積的最大值．（點O為坐標原點）
分析：（1）由橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，知a=2k，c=
3
k，b2=k2，由橢圓過點M（4，1），解得k2=5，由此能求出橢圓方程．
（2）將y=x+m代入
x2
20
+
y 2
5
=1，并整理得5x2+8mx+4m2-20=0，由△=（8m）2-20（4m2-20）＞0，能求出m的取值范圍．
（3）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-
8m
5
，x1x2=
4m2-20
5
，k=1，|AB|=
2(
64m2
25
-
16m2-80
5
)
=
4
2
5
-m2+25
，O到直線AB的距離d=
|m|
2
，由此能求出△OAB面積的最大值．
解答：解：（1）∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，
∴a=2k，c=
3
k，b2=k2，
∵橢圓過點M（4，1），
∴
16
4k2
+
1
k2
=1，解得k2=5，
故橢圓方程為
x2
20
+
y 2
5
=1．
（2）將y=x+m代入
x2
20
+
y 2
5
=1，并整理得5x2+8mx+4m2-20=0，
△=（8m）2-20（4m2-20）＞0，
解得：-5＜m＜5．
（3）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=-
8m
5
，x1x2=
4m2-20
5
，k=1，
∴|AB|=
2(
64m2
25
-
16m2-80
5
)

=
4
2
5
-m2+25
，
∵O到直線AB的距離d=
|m|
2
，
∴△OAB面積S=
1
2
|AB|•d=
2
5
-m2+25
•|m|≤5．
當且僅當m=±5時，取最大值．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，左頂點為A，若|F1F2|=2，橢圓的離心率為e=
1
2

（Ⅰ）求橢圓的標準方程，
（Ⅱ）若P是橢圓上的任意一點，求
PF1
•
PA
的取值范圍
（III）直線l：y=kx+m與橢圓相交于不同的兩點M，N（均不是長軸的頂點），AH⊥MN垂足為H且
AH
2=
MH
•
HN
，求證：直線l恒過定點．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點F（-c，0）是長軸的一個四等分點，點A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且不與y軸垂直的直線l交橢圓于C、D兩點，記直線AD、BC的斜率分別為k1，k2
（1）當點D到兩焦點的距離之和為4，直線l⊥x軸時，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率是
3
2
，且經(jīng)過點M（2，1），直線y=
1
2
x+m(m＜0)與橢圓相交于A，B兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）當m=-1時，求△MAB的面積；
（3）求△MAB的內(nèi)心的橫坐標．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•威海二模）已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為e=
6
3
，過右焦點做垂直于x軸的直線與橢圓相交于兩點，且兩交點與橢圓的左焦點及右頂點構(gòu)成的四邊形面積為
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）設(shè)點M（0，2），直線l：y=1，過M任作一條不與y軸重合的直線與橢圓相交于A、B兩點，若N為AB的中點，D為N在直線l上的射影，AB的中垂線與y軸交于點P．求證：
ND
•
MP
AB
2
為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點為F，過F作y軸的平行線交橢圓于M、N兩點，若|MN|=3，且橢圓離心率是方程2x2-5x+2=0的根，求橢圓方程．

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同步練習(xí)冊答案