Question

已知O為正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足

OA

+λ

OB

+(1+λ)

OC

=

0

，若△OAB的面積與△OAC的面積比值為3，則λ的值為（　�。�

• A．

  1

  2

• B．1
• C．2
• D．3

Answer 1

分析：如圖D，E分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，對(duì)所給的向量等式進(jìn)行變形，根據(jù)變化后的條件得到

OE

=-λ

OD

①；由于正三角形ABC，結(jié)合題目中的面積關(guān)系得到

OE

=

1

3

DE

，②．由①②可得O分DE所成的比，從而得出λ的值．

解答：解：

OA

+λ

OB

+(1+λ)

OC

=

0

，
變?yōu)?span id="kpe24nc" class="MathJye">

OA

+

OC

+λ(

OB

+

OC

)=

0

．
如圖，D，E分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，
由平行四邊形法則知

OA

+

OC

=2

OE

，λ(

OB

+

OC

)=2λ

OD

故

OE

=-λ

OD

①
在正三角形ABC中，
∵S△AOC=

1

3

S△AOB=

1

3

×

1

2

×S△ABC=

1

6

S△ABC=

1

3

S△ADC，
且三角形AOC與三角形ADC同底邊AC，
故O點(diǎn)到底邊AC的距離等于D到底邊AC的距離的三分之一，
故

OE

=

1

3

DE

，⇒

OE

=-

1

2

OD

②
由①②得λ=

1

2

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查向量的加法與減法，及向量共線的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．