Question

設拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，準線與x軸交點為Q，過Q點的直線l交拋物線于A、B兩點．
（1）若直線l的斜率為，求證：；
（2）設直線FA，F(xiàn)B的斜率分別為k_FA，k_FB，探究k_FA與k_FB的關系并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知直線l的方程為，由，得，由此能夠證明．
（2）設直線l的方程為：y=k（x+），k≠0，由，得ky²-2px+kp²=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁y₂=p²，，，由此能夠推導出k_FA與k_FB互為相反數(shù)．
解答：解：（1）∵，
∴直線l的方程為，
由，
消去x，得，
解得，B（），
而F（），
故，
，
∴，
（2）∵過Q點的直線l交拋物線于A、B兩點，
∴直線l的方程為：y=k（x+），k≠0，
由，
消去x，得ky²-2px+kp²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁y₂=p²，
，，
∴===-k_FB．
∴k_FA與k_FB互為相反數(shù)．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．