Question

已知數(shù)列{a_n}首項a₁=2，且對任意n∈N^*，都有a_n+1=ba_n+c，其中b，c是常數(shù)．
（1）若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且c=2，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，且|b|＜1，當從數(shù)列{a_n}中任意取出相鄰的三項，按某種順序排列成等差數(shù)列，求使{a_n}的前n項和S_n＜成立的n取值集合．

Answer 1

解：（1）a_n+1=ba_n+2
∵a₁=2，∴a₂=2b+2，a₃=2b²+2b+2
∵數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，
∴2（2b+2）=2+2b²+2b+2
∴b²-b=0
∴b=0或1
b=0時，a_n=2；b=1時，a_n+1-a_n=2，∴a_n=2n；
（2）若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，則c=0
由條件知，a₁，a₂，a₃按某種順序排列成等差數(shù)列，我們知道，等差數(shù)列總是單調(diào)的（常數(shù)列除外），
現(xiàn)在討論前三項2，2b，2b²按某種順序排列成等差數(shù)列的情況．
若0＜b＜1，則2＞2b＞2b²，是單調(diào)的，但它不是等差數(shù)列，調(diào)整順序后又不單調(diào)，所以不能組成等差數(shù)列，從而-1＜b＜0，
此時，2b＜0，2b＜2b²＜2，所以2b，2b²，2組成等差數(shù)列，所以2b+2=4b²，解得b=-
從而a_n=2×（-）^n-1，
∴S_n=[1-（-）ⁿ]
令S_n＜，即[1-（-）ⁿ]＜，
化簡，得（-）ⁿ＞（）¹⁰
故當n為偶數(shù)時，有n＜10
所以，n=2，4，6，8．
分析：（1）根據(jù)a_n+1=ba_n+2，求出數(shù)列的前3項，利用數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，則c=0，由條件知，a₁，a₂，a₃按某種順序排列成等差數(shù)列，我們知道，等差數(shù)列總是單調(diào)的（常數(shù)列除外），討論前三項2，2b，2b²按某種順序排列成等差數(shù)列的情況，可確定數(shù)列的公比，進而了求數(shù)列的和，利用S_n＜，即可求得結(jié)論．
點評：本題考查等差數(shù)列的定義，考查數(shù)列的通項與求和，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的公比，正確求和，屬于中檔題．