Question

若關(guān)于x的方程x+b=3-

4x-x2

有解，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：問題等價(jià)于y=

4x-x2

與y=-x+3-b的圖象有公共點(diǎn)，可得y=

4x-x2

的圖象為（2，0）為圓心2為比較的圓的上半部分，y=-x+3-b表示直線，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答： 解：關(guān)于x的方程x+b=3-

4x-x2

有解等價(jià)于

4x-x2

=-x+3-b有解，
等價(jià)于y=

4x-x2

與y=-x+3-b的圖象有公共點(diǎn)，
∵y=

4x-x2

等價(jià)于

y2=4x-x2 y≥0

，等價(jià)于

(x-2)2+y2=4 y≥0

，
其圖象為（2，0）為圓心2為比較的圓的上半部分，
作圖可得當(dāng)平行直線y=-x+3-b介于兩直線之間時(shí)滿足題意，
易得直線m的截距為0，設(shè)直線n的截距為t，
由直線與圓相切可得直線x+y-t=0到點(diǎn)（2，0）的距離為2，
可得

|2-t|

2

=2，解得t=2+2

2

，或t=2-2

2

（舍去），
∴0≤b-3≤2+2

2

，解得3≤b≤5+2

2

，
故答案為：3≤b≤5+2

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查根的存在性，涉及圓的切線問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．