Question

已知f(x)=

2x+b

2x+1+a

是R上奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）對任意正數(shù)x，不等式f[k(log3x)2-2log3x]+f[2(log3x)2+k]＞0恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

（1）f(x)=

2x+b

2x+1+a

是R上奇函數(shù)，
∴f（0）=0，f（-1）=-f（1），
∵f（0）=0，
∴b=-1，
又∵f（-1）=-f（1），
∴a=2，
此時f(x)=

2x-1

2(2x+1)

經(jīng)檢驗確為奇函數(shù)，
故a=2，b=-1．
（2）∵f(x)=

1

2

-

1

1+2x

∴f(x)在R上單調(diào)遞增，
原不等式等價于：k(log3x)2-2log3x＞-2(log3x)2-k，
令log₃x=t，
則（k+2）t²-2t+k＞0對一切實數(shù)t恒成立．
所以

k+2＞0 △=4-4(k+2)k＜0

，
解得k＞

2

-1．