Question

對定義域分別是D_f、D_g的函數(shù)y=f（x）、y=g（x），規(guī)定：函數(shù)h（x）=

f(x)•g(x)  (當(dāng)x∈Df且x∈Dg) f(x)  (當(dāng)x∈Df且x∉Dg) g(x)  (當(dāng)x∉Df且x∈Dg)

（Ⅰ）若函數(shù)f(x)=

1

x-1

，g（x）=x²，寫出函數(shù)h（x）的解析式；
（Ⅱ）求問題（1）中函數(shù)h（x）的值域；
（Ⅲ）若g（x）=f（x+α），其中α是常數(shù)，且α∈[0，π]，請設(shè)計一個定義域為R的函數(shù)y=f（x），及一個α的值，使得h（x）=cos4x，并予以證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，分x=1與x≠1討論，利用函數(shù)性質(zhì)即可求得函數(shù)h（x）的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)x=1時，易求h（1）=1；當(dāng)x≠1時，h（x）=f（x）•g（x）=

x2

x-1

=x-1+

1

x-1

+2，再對x分x＞1與x＜1討論，利用基本不等式即可求得函數(shù)h（x）的值域；
（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x，α=

π

4

，可求得g（x）=cos2x-sin2x，繼而可證得h（x）=f（x）•f（x+α）=cos4x．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=

1

x-1

，g（x）=x²，
∴h（x）=

g(x)，x=1 f(x)•g(x)，x≠1

=

x2，x=1 x2 x-1 ，x≠1

，
（Ⅱ）當(dāng)x=1時，h（x）=g（x）=1；
當(dāng)x≠1時，h（x）=f（x）•g（x）=

x2

x-1

=x-1+

1

x-1

+2，
若x＞1，則h（x）≥4，其中等號x=2時成立，
若x＜1，則h（x）≤0，其中等號x=0時成立，
∴函數(shù)h（x）的值域為（-∞，0]∪{1}∪[4，+∞）；
（Ⅲ）令f（x）=sin2x+cos2x，α=

π

4

，
則g（x）=f（x+α）=sin2（x+

π

4

）+cos2（x+

π

4

）=cos2x-sin2x，
于是h（x）=f（x）•f（x+α）=（sin2x+cos2x）（cos2x-sin2x）=cos4x．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查函數(shù)解析式的確定及其值域，突出考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于難題．