Question

由一個(gè)數(shù)列中部分項(xiàng)按原來(lái)次序排列的數(shù)列叫做這個(gè)數(shù)列的子數(shù)列，試在無(wú)窮等比數(shù)列

1

2

，

1

4

，

1

8

，…中找出一個(gè)無(wú)窮等比的子數(shù)列，使它所有項(xiàng)的和為

1

7

，則此子數(shù)列的通項(xiàng)公式為

1

8n

．

Answer 1

分析：設(shè)此子數(shù)列的首項(xiàng)為a₁=（

1

2

）^m，公比為q=（

1

2

）^r，所有各項(xiàng)之和為

a1

1-q

=

( 1 2 )m

1-( 1 2 )r

=

1

7

，由此能求出此子數(shù)列通項(xiàng)公式．

解答：解：∵無(wú)窮等比數(shù)列

1

2

，

1

4

，

1

8

，…中一個(gè)無(wú)窮等比的子數(shù)列所有項(xiàng)的和為

1

7

，
∴此子數(shù)列的首項(xiàng)為a₁=（

1

2

）^m，公比為q=（

1

2

）^r，
所有各項(xiàng)之和為

a1

1-q

=

( 1 2 )m

1-( 1 2 )r

=

1

7

，
整理，得2^m-r（2^r-1）=7，
解得m=r=3．
∴a₁=q=（

1

2

）³=

1

8

，
∴此子數(shù)列通項(xiàng)公式為a_n=a₁q^n-1=

1

8n

．
故答案為：a_n=

1

8n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，解題的關(guān)鍵是正確理解子數(shù)列的含義，準(zhǔn)確設(shè)出子數(shù)列的首項(xiàng)和公比，知道等比數(shù)列中所有各項(xiàng)之和為

a1

1-q

．