Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x），f（0）≠0，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，且對(duì)任意的a、b∈R，有f（a+b）=f（a）f（b），
（1）求證：f（0）=1；
（2）求證：對(duì)任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）已知f（x）是R上的增函數(shù)，若f（x）•f（2x-x²）＞1，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令a=b=0，可由f（a+b）=f（a）f（b），求出f（0）=1；
（2）令a=x，b=-x，結(jié)合（1）中結(jié)論可得f（x）與f（-x）互為倒數(shù)，進(jìn)而由已知可證得對(duì)任意的x∈R，恒有f（x）＞0；
（3）根據(jù)（1）中結(jié)論，由已知將不等式f（x）•f（2x-x²）＞1，化為3x-x²＞0，易解得答案．

解答：解：（1）令a=b=0，則f（0）=[f（0）]²
∵f（0）≠0
∴f（0）=1
（2）令a=x，b=-x，則 f（0）=f（x）f（-x）
∴f（-x）=

1

f(x)

由已知x＞0時(shí)，f（x）＞1＞0，
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，f（-x）＞0
∴f（x）=

1

f(-x)

＞0
又x=0時(shí)，f（0）=1＞0
∴對(duì)任意x∈R，f（x）＞0
（3）f（x）•f（2x-x²）=f[x+（2x-x²）]=f（-x²+3x）
又1=f（0），f（x）在R上遞增
∴由f（3x-x²）＞f（0）
得：3x-x²＞0
∴0＜x＜3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題，熟練掌握抽象函數(shù)“湊已知，湊未知”的解答技巧是關(guān)鍵．