Question

已知函數(shù)
(1)若，求曲線在處的切線方程；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3）設(shè)，若對任意，均存在，使得，求的取值范圍.

Answer 1

(1)(2)詳見解析(3)

試題分析：
(1)已知函數(shù)的解析式,把切點的橫坐標(biāo)帶入函數(shù)即可求出切點的縱坐標(biāo),對求導(dǎo)得到函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),把帶入導(dǎo)函數(shù)即可求的切線的斜率,利用點斜式即可得到切線的方程.
(2)對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)和求定義域,導(dǎo)函數(shù)喊參數(shù),把分為兩種情況進(jìn)行討論,首先時,結(jié)合的定義域即可得到導(dǎo)函數(shù)在定義域內(nèi)恒大于0,進(jìn)而得到原函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,當(dāng)時,求解導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0的解集,得到原函數(shù)的單調(diào)遞增和單調(diào)遞減區(qū)間.
(3)該問題為存在性問題與恒成立問題的結(jié)合,即要求,而的最大值可以利用二次函數(shù)的圖像得到函數(shù)在區(qū)間上的最值,函數(shù)的最大值可以利用第二問的單調(diào)性求的,當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,無最大值,故不符合題意,當(dāng)時,函數(shù)在處前的最大值,帶入不等式即可求的的取值范圍.
試題解析：
(1)由已知，          1分
，所以斜率，          2分
又切點，所以切線方程為)，即
故曲線在處切線的切線方程為。      3分
(2)      4分
①當(dāng)時，由于，故，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
5分
②當(dāng)時，由，得.        6分
在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，
所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.    7分
（3）由已知，轉(zhuǎn)化為.      8分
，所以      9分
由(2)知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，值域為，故不符合題意.
(或者舉出反例：存在，故不符合題意.)      10分
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故的極大值即為最大值，，   12分
所以，解得.    14分