Question

若

π

4

是函數(shù)f（x）=sin2x+acos²x（a∈R且為常數(shù)）的零點(diǎn)，則f（x）的最大值是

 

_

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：計算題

分析：由f（

π

4

）=sin

π

2

+acos²

π

4

=0，可求得a=-2，于是f（x）=sin2x-2cos²x轉(zhuǎn)化為：f（x）=

2

sin（2x-

π

4

）-1，從而可求f（x）的最大值．

解答： 解：∵

π

4

是函數(shù)f（x）=sin2x+acos²x（a∈R，為常數(shù)）的零點(diǎn)，
∴f（

π

4

）=sin

π

2

+acos²

π

4

=0，
∴1+

1

2

a=0，
∴a=-2．
∴f（x）=sin2x-2cos²x
=sin2x-cos2x-1
=

2

sin（2x-

π

4

）-1，
∴f（x）的最大值為

2

-1．
故答案為：

2

-1．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，由f（

π

4

）=0求得a的值是基礎(chǔ)，利用輔助角公式轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，屬于中檔題．