Question

已知a∈{x|log₂x+x=0}，則f（x）=log_a（x²-2x-3）的增區(qū)間為

（-∞，-1）

．

Answer 1

分析：先求出函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（3，+∞），根據(jù)在（-∞，-1）上，t是減函數(shù)，f（x）=log_at 是增函數(shù)，在（3，+∞）上，t是增函數(shù)，f（x）=log_at 是
減函數(shù)，得出結(jié)論．

解答：解：由log₂x+x=0，可得 0＜x＜1，從而可得0＜a＜1．
令t=x²-2x-3=（x-3）（x+1）＞0，可得 x＜-1，或 x＞3，故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（3，+∞）．
在（-∞，-1）上，t是減函數(shù)，f（x）=log_a（x²-2x-3）=log_at 是增函數(shù)．
在（3，+∞）上，t是增函數(shù)，f（x）=log_a（x²-2x-3）=log_at 是減函數(shù)．
則f（x）=log_a（x²-2x-3）的增區(qū)間為 （-∞，-1），
故答案為 （-∞，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：“同增異減”，屬于中檔題．