Question

如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上．
（1）求漁船甲的速度；
（2）求sinα的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意推出∠BAC=120°，利用余弦定理求出BC=28，然后推出漁船甲的速度；
（2）方法一：在△ABC中，直接利用正弦定理求出sinα．
方法二：在△ABC中，利用余弦定理求出cosα，然后轉(zhuǎn)化為sinα．
解答：解：（1）依題意，∠BAC=120°，AB=12，AC=10×2=20，∠BCA=α．（2分）
在△ABC中，由余弦定理，得BC²=AB²+AC²-2AB×AC×cos∠BAC（4分）
=12²+20²-2×12×20×cos120°=784．
解得BC=28．（6分）
所以漁船甲的速度為海里/小時(shí)．
答：漁船甲的速度為14海里/小時(shí)．（7分）
（2）方法1：在△ABC中，因?yàn)锳B=12，∠BAC=120°，BC=28，∠BCA=α，
由正弦定理，得．（9分）
即．
答：sinα的值為．（12分）
方法2：在△ABC中，因?yàn)锳B=12，AC=20，BC=28，∠BCA=α，
由余弦定理，得．（9分）
即．
因?yàn)棣翞殇J角，所以=．
答：sinα的值為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．