Question

在直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，給出以下命題：
①圓上任意一點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是圓；
②若直線(xiàn)上每一點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程仍是則；
③橢圓上每一點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是離心率不變的橢圓；
④曲線(xiàn)：上每一點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是曲線(xiàn)，是曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，是曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，則的最小值為。
以上正確命題的序號(hào)是                  （寫(xiě)出全部正確命題的序號(hào)）.

Answer 1

①③④

解析試題分析：由題意點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)來(lái)說(shuō)，就是求曲線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)應(yīng)曲線(xiàn)，對(duì)于①，因?yàn)閳A的圓心在直線(xiàn)上，所以圓上任意一點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡仍是圓，所以①正確；
對(duì)于②，直線(xiàn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)方程為，而直線(xiàn)上每一點(diǎn)實(shí)施變換后，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程仍是，所以，解得，或,所以②不正確；
對(duì)于③，橢圓上的每一點(diǎn)實(shí)施后，對(duì)應(yīng)的軌跡方程為，對(duì)應(yīng)的離心率不變，故③正確；對(duì)于④，令，易求得時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，所以，由對(duì)稱(chēng)性可知，曲線(xiàn)上的點(diǎn)與其關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)曲線(xiàn)上的點(diǎn)的最小值為，所以④正確；
故答案為①③④.
考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用.