Question

2．設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，且${S_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{a_n}$，則a_n=（　�。�

• A． $\frac{1}{3}•{（\frac{1}{2}）^{n-1}}$
• B． $\frac{1}{2}•{（\frac{2}{3}）^{n-1}}$
• C． $2•{（\frac{1}{3}）^n}-\frac{1}{3}$
• D． ${（\frac{1}{3}）^n}$

Answer 1

分析 由已知數(shù)列遞推式求出首項，進一步得到${a}_{n}=\frac{1}{3}{a}_{n-1}$（n≥2）．可得數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{3}$為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，代入等比數(shù)列的通項公式得答案．

解答 解：由${S_n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{a_n}$，取n=1，得${a}_{1}={S}_{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{a}_{1}$，即${a}_{1}=\frac{1}{3}$．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{a}_{n}-（\frac{1}{2}-\frac{1}{2}{a}_{n-1}）$，
即${a}_{n}=\frac{1}{3}{a}_{n-1}$（n≥2）．
∴數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{3}$為首項，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，
則${a}_{n}=\frac{1}{3}•（\frac{1}{3}）^{n-1}=（\frac{1}{3}）^{n}$．
故選：D．

點評 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓練了等比數(shù)列通項公式的求法，是中檔題．