Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（x＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=時(shí)，若P（x₁，f（x₁）），Q（x₂f（x₂））（0＜x₁＜x₂）是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且存在實(shí)數(shù)x＞0，使得f′（x）=．證明：x₁＜x＜x₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）可求得f′（x）=，通過(guò)對(duì)a分a≤0與a＞0討論，即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）a=時(shí)，f（x）=x²+（x＞0），f′（x）=2x-，依題意可得2x-=（x₂+x₁）-，即x是方程2x--（x₂+x₁）+=0的根，構(gòu)造函數(shù)g（x）=2x--（x₂+x₁）+，利用零點(diǎn)存在定理即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：f′（x）=2x-=                                        …（1分）
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增；                        …（3分）
②當(dāng)a＞0時(shí)，當(dāng)0＜x＜時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)在[，+∞）上單調(diào)遞增．…（5分）
綜上可知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為（0，∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（0，）；單調(diào)遞增區(qū)間為[，+∞）．…（6分）
（2）當(dāng)a=時(shí)，f（x）=x²+（x＞0），此時(shí)f′（x）=2x-，…（7分）
===（x₂+x₁）-，
從而原等式為2x-=（x₂+x₁）-．…（8分）
由題意可得x是方程2x--（x₂+x₁）+=0的根，…（9分）
令g（x）=2x--（x₂+x₁）+，
g（x₁）=2x₁-+-x₁-x₂=（x₁-x₂）-=（x₁-x₂）（1+）＜0，…（11分）
g（x₂）=2x₂-+-x₁-x₂=（x₂-x₁）-=（x₂-x₁）（1+）＞0，…（12分）
g（x₁）•g（x₂）＜0，由零點(diǎn)的存在性定理，可知：
∴x₁＜x＜x₂．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用．考查運(yùn)算、抽象思維與推理證明的能力，屬于難題．