Question

已知橢圓C: +=1(a>b>0)的焦距為4,且過(guò)點(diǎn)P(,).

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)Q(x0,y0)(x0y0≠0)為橢圓C上一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線,垂足為E.取點(diǎn)A(0,2),連接AE,過(guò)點(diǎn)A作AE的垂線交x軸于點(diǎn)D.點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn),作直線QG,問(wèn)這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)?并說(shuō)明理由.

Answer 1

解:(1)因?yàn)榻咕酁?,

所以a2-b2=4.

又因?yàn)闄E圓C過(guò)點(diǎn)P(,),

所以+=1,

故a2=8,b2=4,

從而橢圓C的方程為+=1.

(2)一定有唯一的公共點(diǎn).

由題意,E點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,0).

設(shè)D(xD,0),則=(x0,-2),=(xD,-2).

再由AD⊥AE知,·=0,

即xDx0+8=0.

由于x0y0≠0,故xD=-.

因?yàn)辄c(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn),所以點(diǎn)G（,0）.

故直線QG的斜率kQG==.

又因Q(x0,y0)在橢圓C上,

所以+2=8.①

從而kQG=-.

故直線QG的方程為

y=-（x-）.②

將②代入橢圓C方程,得

(+2)x2-16x0x+64-16=0.③

再將①代入③,化簡(jiǎn)得

x2-2x0x+=0.

解得x=x0,y=y0,

即直線QG與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn).