Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a、b、c、d∈R）滿足：?x∈R都有f（x）+f（-x）=0，且x=1時(shí)，f（x）取極小值-

2

3

．
（1）f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，證明：函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)處的切線不可能互相垂直：
（3）設(shè)F（x）=|xf（x）|，證明：x∈(0，

3

)時(shí)，F(x)≤

3

4

．

Answer 1

分析：（1）利用奇函數(shù)中不含偶次項(xiàng)，得到b=d=0；求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)在x=1的值為0，令函數(shù)在x=1的值為-

2

3

，列出方程組，求出a，c求出解析式．
（2）設(shè)出任意兩個(gè)點(diǎn)，求出該兩個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即兩條切線的斜率，求出它們的積的范圍，得到不可能為-1．
（3）求出f（x）d的解析式，利用基本不等式求出最大值，注意檢驗(yàn)等號(hào)能否取得．

解答：解：（1）因?yàn)椋?x∈R，f（-x）=-f（x）成立，所以：b=d=0，
由：f'（1）=0，得3a+c=0，
由：f(1)=-

2

3

，得a+c=-

2

3

（3分）
解之得：a=

1

3

，c=-1從而，
函數(shù)解析式為：f(x)=

1

3

x3-x（5分）
（2）由于，f'（x）=x²-1，
設(shè)：任意兩數(shù)x₁，x₂∈[-1，1]是函數(shù)f（x）圖象上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
則這兩點(diǎn)的切線的斜率分別是：k₁=f'（x₁）=x₁²-1，k₂=f'（x₂）=x₂²-1
又因?yàn)椋?1≤x₁≤1，-1≤x₂≤1，所以，k₁≤0，k₂≤0，得：k₁k₂≥0知：k₁k₂≠-1
故，當(dāng)x∈[-1，1]是函數(shù)f（x）圖象上任意兩點(diǎn)的切線不可能垂直（10分）
（3）當(dāng)：x∈(0，

3

)時(shí)，x²∈（0，3）且3-x²＞0此時(shí)F（x）=|xf（x）|=|x(

1

3

x3-x)|=

1

3

x2(3-x2)≤

1

3

×(

x2+3-x2

2

)2=

3

4

當(dāng)且僅當(dāng)：x²=3-x²，即x=

6

2

∈(0，

3

)，取等號(hào)，故；F(x)≤

3

4

（14分）

點(diǎn)評：利用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí)，一定要注意需要滿足的條件：一正、二定、三相等．