Question

19．若函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-x+6，x≤2\\ 2+{log_a}x，x＞2\end{array}\right.$（a＞0，且a≠1）的值域是[4，+∞），則實數(shù)a的取值范圍是（1，$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 x≤2時，容易得出f（x）≥4，而f（x）的值域為[4，+∞），從而需滿足2+log_ax≥4，（x＞2）恒成立，從而可判斷a＞1，從而可得出log_a2≥2，這樣便可得出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：x≤2時，-x+6≥4；
∴f（x）的值域為[4，+∞）；
∴x＞2時，2+log_ax≥4恒成立；
∴l(xiāng)og_ax≥2，a＞1；
∴l(xiāng)og_a2≥2；
∴2≥a²；
解得$1＜a≤\sqrt{2}$；
∴實數(shù)a的取值范圍為$（1，\sqrt{2}]$．
故答案為：$（1，\sqrt{2}]$．

點評 考查函數(shù)值域的概念，分段函數(shù)值域的求法，以及一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)恒成立問題的處理方法．