Question

如圖，在直三棱柱ABC=A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E，F(xiàn)，D分別是AA₁，AC，BB₁的中點(diǎn)，且CD⊥C₁D．
（Ⅰ）求證：CD∥平面BEF；
（Ⅱ）求證：平面BEF⊥平面A₁C₁D．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)AD，交BE于點(diǎn)M，連結(jié)FM，由已知得四邊形ABDE為平行四邊形，由此能證明CD∥平面BEF．
（Ⅱ）由已知得∠ACB=90°，從而A₁C₁⊥面BC₁，進(jìn)而A₁C₁⊥CD，又CD⊥C₁D，從而CD⊥平面A₁C₁D，由此能證明平面BEF⊥平面A₁C₁D．

解答： 證明：（Ⅰ）連結(jié)AD，交BE于點(diǎn)M，連結(jié)FM，
∵E，D分別為棱的中點(diǎn)，
∴四邊形ABDE為平行四邊形，
∴點(diǎn)M為BE的中點(diǎn)，而F為AC中點(diǎn)，
∴FM∥CD，
∵CD不包含于面BEF，F(xiàn)M?平面BEF，
∴CD∥平面BEF．
（Ⅱ）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∠ACB=90°，
∴A₁C₁⊥面BC₁，而CD?面BC₁，
∴A₁C₁⊥CD，又∵CD⊥C₁D，
∴CD⊥平面A₁C₁D．
由（1）知FM∥CD，∴FM⊥面A₁C₁D，
而FM?面BEF，∴平面BEF⊥平面A₁C₁D．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．