Question

已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在區(qū)間其中a >0，上存在極值，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）如果當時，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.

Answer 1

（1）;（2） ．

試題分析：（1）由于函數(shù)是一個確定的具體的函數(shù)，所以它的極值點也是確定的；故我們只須應用導數(shù)求出函數(shù)的極值點，注意定義域；讓極值點屬于區(qū)間可得到關于a的不等式，從而就可求出實數(shù)a的取值范圍；（2）顯然不等式等價于：因此當時，不等式恒成立其中，所以利用函數(shù)的導數(shù)求出的最小值即可．
試題解析：（1）因為， x >0，則，
當時，；當時，．
所以在（0，1）上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在處取得極大值．            
因為函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，
所以 解得．               
（2）不等式即為 記
所以  
令，則，                      
，    
在上單調(diào)遞增，                          
，從而，
故在上也單調(diào)遞增， 所以，所以 ．