Question

5．設(shè)銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c；已知a=2bsinA，則$\frac{a}{2c}$的取值范圍為（　　）

• A． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$
• B． $（0，\frac{{\sqrt{3}}}{5}）$
• C． $（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$
• D． $（\frac{{\sqrt{3}}}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$

Answer 1

分析 由a=2bsinA，根據(jù)正弦定理求得sinB=$\frac{1}{2}$，再由△ABC為銳角三角形可得B的大小，利用正弦定理及三角函數(shù)恒等變換可得$\frac{a}{2c}$=$\frac{sinA}{2sinC}$=$\frac{1}{4tanC}+\frac{\sqrt{3}}{4}$，由已知可求范圍C∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），解得tanC∈（$\sqrt{3}$，+∞），從而得解．

解答 解：（1）∵由a=2bsinA，根據(jù)正弦定理得sinA=2sinBsinA，（2分）
又∵sinA＞0，∴sinB=$\frac{1}{2}$，（3分）
∴再由△ABC為銳角三角形得B=$\frac{π}{6}$，（5分）
∵由正弦定理可得$\frac{a}{2c}$=$\frac{sinA}{2sinC}$=$\frac{sin（\frac{5π}{6}-C）}{2sinC}$=$\frac{\frac{1}{2}cosC+\frac{\sqrt{3}}{2}sinC}{2sinC}$=$\frac{1}{4tanC}+\frac{\sqrt{3}}{4}$，（7分）

又∵三角形是銳角三角形，故C∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），
∴tanC∈（$\sqrt{3}$，+∞），
∴$\frac{a}{2c}$=$\frac{1}{4tanC}+\frac{\sqrt{3}}{4}$∈（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．（12分）

故選：D．

點評 本題主要考查了正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了計算能力，屬于中檔題．