Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，BD與EF交于點(diǎn)H，G為BD中點(diǎn)，點(diǎn)R在線段BH上，且 =λ（λ＞0）．現(xiàn)將△AED，△CFD，△DEF分別沿DE，DF，EF折起，使點(diǎn)A，C重合于點(diǎn)B（該點(diǎn)記為P），如圖2所示．

（I）若λ=2，求證：GR⊥平面PEF；
（Ⅱ）是否存在正實(shí)數(shù)λ，使得直線FR與平面DEF所成角的正弦值為 ？若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（I）證明：由題意，PE，PF，PD三條直線兩兩垂直，∴PD⊥平面PEF， 圖1中，EF∥AC，∴GB=2GH，
∵G為BD中點(diǎn)，∴DG=2GH．
圖2中，∵ =2，∴△PDH中，GR∥PD，
∴GR⊥平面PEF；
（Ⅱ）解：由題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)PD=4，則P（0，0，0），F(xiàn)（2，0，0），E（0，2，0），D（0，0，4），∴H（1，1，0），
∵ =λ，∴R（ ， ，0），
∴ =（ ，﹣ ，0），
∵ =（2，﹣2，0）， =（0，2，﹣4），
設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為 =（x，y，z），則 ，取 =（2，2，1），
∵直線FR與平面DEF所成角的正弦值為 ，
∴ = ，
∴λ= ，
∴存在正實(shí)數(shù)λ= ，使得直線FR與平面DEF所成角的正弦值為 ．

【解析】（I）若λ=2，證明PD⊥平面PEF，GR∥PD，即可證明：GR⊥平面PEF；（Ⅱ）建立如圖所示的坐標(biāo)系，求出平面DEF的一個(gè)法向量，利用直線FR與平面DEF所成角的正弦值為 ，建立方程，即可得出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點(diǎn)，所成的角為，則才能正確解答此題．