Question

15．已知函數(shù)f（x）=log_ax+b，f（x）恒過點（1，1），且f（e）=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）≤kx對?x＞0都成立，求實數(shù)k的取值范圍；
（3）當x₂＞x₁＞1時，證明：x₂（x₁-1）lnx₂＞x₁（x₂-1）lnx₁．

Answer 1

分析 （1）求出b的值，根據(jù)f（e）=2，求出a的值，從而求出f（x）的解析式即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為$\frac{lnx+1}{x}$≤k，設g（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，從而求出k的范圍即可；
（3）設h（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，求出函數(shù)的單調(diào)性，由（2）得，當k=1時，x≥lnx+1，判斷出h（x）的單調(diào)性，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意得f（x）恒過點（1，1），∴b=1，
又∵f（e）=2=log_ae=1，∴a=e，
∴f（x）=lnx+1．
（2）f（x）≤kx，即lnx+1≤kx，即$\frac{lnx+1}{x}$≤k，
設g（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，g′（x）=-$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，令g′（x）＞0，得0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
g（x）_max=g（1）=1，
∴k≥1．
（3）設h（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，則h′（x）=$\frac{x-1-lnx}{{（x-1）}^{2}}$，
由（2）得，當k=1時，x≥lnx+1，
所以h′（x）=$\frac{x-1-lnx}{{（x-1）}^{2}}$＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又∵x₂＞x₁＞1，∴h（x₂）＞h（x₁），
即$\frac{{x}_{2}l{nx}_{2}}{{x}_{2}-1}$＞$\frac{{x}_{1}l{nx}_{1}}{{x}_{1}-1}$，
即x₂（x₁-1）lnx₂＞x₁（x₂-1）lnx₁，得證．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及不等式的證明，是一道中檔題．