分析 (1)把x=-c代入橢圓方程可得:c2a2+y22=1,解得y.取P(−c,2a).利用OP∥AB,可得kOP=kAB.化簡(jiǎn)即可得出.
(2)利用余弦定理與基本不等式的性質(zhì)可得:Q點(diǎn)取短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí),∠F1QF2取得最大值.即可得出∠F1QF2的取值范圍.
(3)kAB=−√22,QM⊥AB,可得kQM=√2,可得直線QM的方程為:y=√2(x-c),設(shè)Q(x1,y1),M(x2,y2).與橢圓方程聯(lián)立化為:5x2-8cx+2c2=0,利用根與系數(shù)的關(guān)系可得:|QM|=√3[(x1+x2)2−4x1x2].點(diǎn)F1到直線QM的距離d.利用S△F1QM=12|QM|d,解得c即可得出.
解答 解:(1)把x=-c代入橢圓方程可得:c2a2+y22=1,解得y=±2a.取P(−c,2a).
∴kOP=-2ac,
又kAB=−a,OP∥AB.
∴kOP=kAB.
∴-2ac=−a,
化為b=c.
∴c2=b2=a2-c2,
解得a=√2c.
∴橢圓的離心率e=ca=√22.
(2)設(shè)|QF1|=m,|QF2|=n,m+n=2a,
∴2a≥2√mn,化為1mn≥1a2,當(dāng)且僅當(dāng)m=n=a時(shí)取等號(hào).
cos∠F1QF2=m2+n2−(2c)22mn=(m+n)2−2mn−4c22mn=22mn−1≥22a2-1,
∴Q點(diǎn)取短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí),∠F1QF2取得最大值.
∵b=c,∴∠F1QF2取得最大值90°.
∴∠F1QF2的取值范圍是(0°,90°].
(3)∵kAB=−√22,QM⊥AB,
∴kQM=√2,
可得直線QM的方程為:y=√2(x-c),設(shè)Q(x1,y1),M(x2,y2).
聯(lián)立{y=√2(x−c)x22c2+y2c2=1,化為:5x2-8cx+2c2=0,
∴x1+x2=8c5,x1x2=2c25.
∴|QM|=√3[(x1+x2)2−4x1x2]=6√2c5.
點(diǎn)F1到直線QM的距離d=2√2c√(√2)2+1=2√6c3.
∴S△F1QM=12|QM|d=12×6√2c5×2√6c3=20√3.
解得c=5.
∴此時(shí)橢圓的方程為x250+y225=1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、相互平行的直線斜率之間的關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、三角形面積計(jì)算公式、點(diǎn)到直線的距離公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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A. | 2√1313 | B. | √1313 | C. | 113 | D. | 213 |
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A. | 第一象限 | B. | 第二象限 | C. | 第三象限 | D. | 第四象限 |
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