Question

甲、乙兩個(gè)乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球單打比賽，比賽規(guī)則是5局3勝制（如果甲或乙無論誰先勝3局，則宣告比賽結(jié)束），假定每一局比賽中甲獲勝的概率是

2

3

，乙獲勝的概率是

1

3

，試求：
（Ⅰ）經(jīng)過3局比賽就宣告結(jié)束的概率；
（Ⅱ）若勝一局得1分，負(fù)一局得0分，求比賽結(jié)束時(shí)乙得2分的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，經(jīng)過三局比賽結(jié)束包括了兩個(gè)事件，事件A：甲以3：0獲勝；事件B：乙以3：0獲勝，經(jīng)過3局比賽就宣告結(jié)束的概率是此兩事件概率的和，即P₁=P（A+B）=P（A）+P（B）由題設(shè)條件求解即可；
（II）由題意，比賽結(jié)束時(shí)乙得2分的情況，只可能是乙以2：3負(fù)于甲，即前4局比賽中乙恰好勝2局，第5局比賽乙負(fù)，故事件“比賽結(jié)束時(shí)乙得2分”概率是P2=

c

2 4

(

1

3

)2×(

2

3

)2×

2

3

，計(jì)算出結(jié)果即可得到答案

解答：解：（Ⅰ）記事件A：甲以3：0獲勝；事件B：乙以3：0獲勝，
則經(jīng)過3局比賽就宣告結(jié)束的概率是
P1=P(A+B)=P(A)+P(B)=(

2

3

)3+(

1

3

)3=

9

27

=

1

3

．…（6分）
（Ⅱ）比賽結(jié)束時(shí)乙得（2分）的情況，只可能是乙以2：3負(fù)于甲，即前4局比賽中乙恰好勝2局，第5局比賽乙負(fù)，于是乙得（2分）的概率是
P2=

c

2 4

(

1

3

)2×(

2

3

)2×

2

3

=

16

81

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，互斥事件的和事件的概率，相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)所研究的事件的類型選擇恰當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ颓蟪龈怕�，如第一小題中所求的概率是兩個(gè)互斥事件概率的和，第二小題中四次試驗(yàn)中某事件發(fā)生兩次的概率的求法，所用的模型是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率，從現(xiàn)實(shí)問題中抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型是成功解題的第一步