Question

已知f（x）=ax-lnx，x∈（0，e]，其中e是自然常數(shù)，a∈R
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入求出其導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而求出f'（2）以及f（2）即可求出方程；
（II）先求出其導(dǎo)函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)為0的根，比較根與區(qū)間兩端點(diǎn)的大小關(guān)系，求出其在x∈（0，e]上的單調(diào)性以及在x∈（0，e]上的最小值；即可判斷出是否存在a．．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x-lx，f'（x）=1-=（1分）
∴切線斜率為f'（2）=，切點(diǎn)（2，2-ln2），
∴切線的方程為x-2y+2-2ln2=0
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，
f'（x）=a-=
①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3⇒a=（舍去），所以，此時(shí)f（x）無(wú)最小值．（11分）
②當(dāng)0＜＜e時(shí)，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（ ，e]上單調(diào)遞增
f（x）_min=f（ ）=1+lna=3，a=e²，滿足條件．（12分）
③當(dāng) ≥e時(shí)，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=ae-1=3⇒a=（舍去），所以，此時(shí)f（x）無(wú)最小值．
綜上，存在實(shí)數(shù)a=e²，使得當(dāng)x∈（0，e]時(shí)f（x）有最小值3．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程以及在閉區(qū)間上的最值問題．是對(duì)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合考查，也是高考�？伎键c(diǎn)．．