Question

設(shè)函數(shù) f （x）=ax-lnx-3（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（Ⅰ）若函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（0，0）處的切線也恰為f（x）圖象的一條切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的x∈（0，e]，都有唯一的x∈[e^-4，e]，使得f（x）=g（x）成立．若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求g（x）的圖象在（0，0）處的切線方程是y=ex，再利用函數(shù)g（x）的圖象在點(diǎn)（0，0）處的切線也恰為f（x）圖象的一條切線，可求a的值；
（Ⅱ）先確定函數(shù)g（x）的值域，令m=g（x），則原命題等價(jià)于對(duì)于任意m∈（0，1]，都有唯一的，使得f（x）=m成立，而，x∈[e^-4，e]，，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最值，即可求得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）∵g'（x）=（1-x）e^1-x，∴g'（0）=e，∴g（x）的圖象在（0，0）處的切線方程是y=ex；（2分）
設(shè)y=ex與f（x）的圖象切于點(diǎn)（x，y），而，∴且ax-lnx-3=ex，解得a=e²+e；  （5分）
（Ⅱ）∵g'（x）=（1-x）e^1-x，∴g（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，在[1，e]上單調(diào)遞減，
且g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e^2-e∈（0，1），∴g（x）∈（0，1]；      （8分）
若令m=g（x），則原命題等價(jià)于對(duì)于任意m∈（0，1]，都有唯一的，使得f（x）=m成立． （9分）
而，x∈[e^-4，e]，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在x∈[e^-4，e]上單調(diào)遞減，要滿足條件，則必須有，且f_min=f（e）=ae-4≤0，無解，所以此時(shí)不存在滿足條件的a；（10分）
②當(dāng)0＜a≤e^-1，f'（x）＜0恒成立，所以f（x）在x∈[e^-4，e]上單調(diào)遞減，要滿足條件，則必須有，且f_min=f（e）=ae-4≤0，解得，∴0＜a≤e^-1；（11分）
③當(dāng)e^-1＜a＜e⁴時(shí)，f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又f（e^-4）=ae^-4+1＞1，要滿足條件，則，解得，∴；（12分）
④當(dāng)a≥e⁴時(shí)，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在x∈[e^-4，e]上單調(diào)遞增，
又，所以此時(shí)不存在a滿足條件；   （13分）
綜上有．   （15分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．