Question

已知m∈R，研究函數(shù)的單調區(qū)間．

Answer 1

【答案】分析：先利用分式函數(shù)的導數(shù)法則求出f'（x），然后化簡得f'（x）=，記g（x）=-mx²-（m+3）x-3，∵e^x＞0．從而只需討論g（x）的正負即可，討論二次項的正負以及g（x）=0有兩個根的大小，從而求出函數(shù)的單調區(qū)間．
解答：解：f'（x）=
=．…（3分）
記g（x）=-mx²-（m+3）x-3，
∵e^x＞0．
∴只需討論g（x）的正負即可．
（1）當m=0時，g（x）=-3x-3．
當g（x）＞0時，x＜-1，f'（x）＞0；
當g（x）＜0時，x＞-1，f'（x）＜0．
∴當m=0時，f（x）的增區(qū)間為（-∞，-1），減區(qū)間為（-1，+∞）．…（5分）
（2）當m≠0時，g（x）=0有兩個根；x₁=-=-1，
①當m＜0時，x₁＞x₂，在區(qū)間（-∞，-1），（-，+∞）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0．
∴f（x）在此區(qū)間上是增函數(shù)；
在區(qū)間（-1，-）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∴f（x）在此區(qū)間上是減函數(shù)；…（7分）
②當0＜m＜3時，x₁＜x₂，在區(qū)間（-∞，-），（-1，+∞）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∴f（x）在此區(qū)間上是減函數(shù)；在區(qū)間（-，-1）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0．
∴f（x）在此區(qū)間上是增函數(shù)；…（9分）
當m=3時，x₁=x₂，在區(qū)間（-∞，-1），（-1，+∞）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∵f（x）在x=-1處連續(xù)，∴f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)；…（11分）
④當m＞3時，x₁＞x₂，在區(qū)間（-∞，-1），（-，+∞）上，g（x）＜0，即f'（x）＜0．
∴f（x）在此區(qū)間上是減函數(shù)；
在區(qū)間（-1，-）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0，
∴f（x）在此區(qū)間上是增函數(shù)．…（13分）
點評：本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，同時考查了轉化的思想和分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．